DESIGUALDAD
Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto
y desigual.
El término "DISTINTO" (signo ≠), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real.
Ejemplos: 4 ≠ 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4)
El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se
forma con cualquiera de esos cuatro símbolos
≤
≥
<
>
"menor oigualque" ( )
"mayor oigualque" ( )
" menor que" ( )
" mayor que" ( )
.
Ejemplos de desigualdades:
a) 5 < 11 b) –2 > –7 c) 0 ≤ 1 4 ≥ –3
Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a
derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores.
Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera a y b,
siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b.
(a < b) (a = b) (a > b)
si unimos si unimos
a ≤ b a ≥ b
Para evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F.
Ej. Completa con V (verdadero) o F (falso) las siguientes desigualdades:
5 < 3 ___ 5 ≤ 2 ___
–2 < –5 ___ b ≥ b ___
0,25 < 0,205 ___ a+3 ≤ a+8 ___
1
5
3
≤ ___ a < a ___
16
9
8
5
≥ ___ a+b > a ___
45
10
9
2 −
>
−
___ 2a–1 > 2a+5 ___
7
19
4
> − ___ π ≥ 3,14 ___
Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades:
3 ___ –5, –8 ___ –8, –4 ___ –20, 35 ___ 6
7
22
π ___
Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad;
ejemplo: 3>5 es falsa si cambiamos de sentido 3<5, es verdadera; cambiar de sentido una
desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario.
Pág – 1 –PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
De la suma:
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7
< 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si restamos 4 a los dos miembros se obtiene –1 <
4, otra del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos x y restamos 1 se obtiene 2+x <
7+x, otra del mismo sentido.
Del producto
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene
15 < 40, otra del mismo sentido
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se
obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.
Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene
4
2
3
< , otra del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene
–3 > –8, otra de sentido contrario.
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos
miembros de una desigualdad.
Son inecuaciones: 2 + 3x < 5 x
2
– 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14
Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene.
Veamos un problema: Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que
si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así.
2 x – 1 > x + 4 Vemos que hay muchos números que cumplen esta condición.
Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen
cierta así como otros muchos números.
Sin embargo, los números 3, –4 no la hacen
cierta, estos números no cumplen la condición,
también hay otros.
Luego nos damos cuenta que la respuesta a una
inecuación no es única, existen varias soluciones.
Pág – 2 –
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una
expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número
*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
*Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.
Nº Doble menos 1 Nº + 4 cierto
9 17 13 SI
11 21 15 SI
90 179 94 SI
6 11 10 SI
3 5 7 NO
–4 –9 0 NOEn general una inecuación tiene infinitas soluciones.
Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades)
Sumamos 1 a los dos miembros 2x > x + 4 + 1
Restamos x a los dos miembros 2x – x > 4 + 1
Reducimos miembros x > 5
Por tanto, la solución de esta inecuación es: x > 5
Inecuación: 2 x – 1 > x + 4 si sustituimos la x por 9
2·9 – 1 > 9 + 4
17 > 13 que es una desigualdad cierta, y, por tanto, el valor 9 será una solución
2·3 – 1 > 3 + 4
5 > 7 no es cierta la desigualdad, por tanto, el valor 3 no es solución.
* Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes.
* Dos inecuaciones son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones.
Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que
las propiedades de las desigualdades, simplemente cambiando la palabra desigualdad por
inecuación.
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES
De la suma:
Del producto
En la práctica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a
veces hay que cambiarla de sentido.
Pág – 3 –
Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que
al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta,
Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o
una expresión algebraica se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo
sentido.
Si los dos miembros de una INECUACIÓN se multiplican o dividen por un número
*mayor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido
*menor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente a la dada pero de
sentido contrario.
Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:
* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1)
* Cuando sea negativo y utilicemos: "el que está multiplicando pasa al otro miembro
dividiendo"
* A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común
es negativoEJEMPLOS:
cambiar desentido.
en esta inecuación no hemos tenidoque
5
3
15 resolvemos
reducimos 3 15
trasponemos 5 2 12 3
> =
>
− > +
− > +
x
x
x x
5x 3 2x 12
en esta inecuación SI hemoscambiadoelsentido
4
3
12 resolvemos
reducimos 3 12
trasponemos 4 7 1 5 8
quitamosparéntesis 4 8 5 7 1
= −
−
>
− <
− < − + +
− − < −
− − < −
x
x
x x
x x
4(x 2) 5 7x 1
1
19
19
19 19
9 2 12 4 15
9 15 2 4 12
3(3 5) 2( 2) 6 2
no hay que cambiar de sentido
losdos miembrospor 6,
quitamosdenominadores multiplicando
≤ =
≤
− + ≤ +
− ≤ + −
− ≤ + − ⋅
−
+
≤
−
x
x
x x x
x x x
x x x
2x
3
x 2
2
3x 5
29es negativo
hemos tenidoque cambiar porque
29
26
29 26
12 20 18 3 6 32
12 20 32 18 3 6
12 4(5 8) 18 3( 2)
losdos miembrospor 12,no hay que cambiar
quitamosdenominadores multiplicando
≤ −
− ≥
− − − ≥ − +
− − ≥ + −
− + ≥ + −
−
≥ +
+
−
x
x
x x x x
x x x x
x x x x
4
x 2
2
3x
3
5x 8
x
FORMAS DE DAR LA SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN
a) Según se obtiene en la resolución. 3 ejemplos anteriores: x > 5; x > – 4; x ≤ 1
b) En forma de intervalos: los mismos anteriores son: (5 , +∞); (–4 , +∞); ( − ∞ ,1]
c) De forma gráfica, utilizando la recta real
Siempre que resolvamos una inecuación en un sentido, también estamos resolviendo otra
inecuación de sentido contrario. Ejem. Si tenemos la inecuación "algo < otro algo"
cuya solución es x < 7; la solución de la inecuación "algo> otro algo" es x > 7
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 3x − 5 ≥ 2x + 11 2) 4x − (5 + 7x) < 2(x + 11)
3) 1 2
3
4
− < +
−
x
x
4) 2
3
4 1
4(3 5 ) ≤ +
−
+ − x
x
x
5)
3
5
5
2
2( + 6) + < − x +
x
x 6) 6 (8 11)
2
4 7
5
3(4 3)
≥ − +
−
−
+
x
x x
Pág – 4 –INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Ejemplos de este tipo son: x + y ≤ 0 2x + y > 5 4x – 7y < 11
Para este tipo de inecuación no se puede dar una solución de forma algebraica, sólo se puede
dar una solución de forma gráfica, para ello se requiere la representación gráfica de funciones.
Es obvio decir que para su resolución la inecuación debe estar simplificada.
La solución es, siempre, un semiplano de los que la gráfica (siempre una línea recta) divide
al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es.
Ejemplo: Resolver la inecuación 2x + y > 5
Para ello representamos sobre unos ejes
cartesianos la función 2x + y = 5 ó mejor la función
equivalente y = 5 – 2x, obtenida de la inecuación.
Los puntos dibujados en la recta corresponde a la
igualdad (2x + y = 5 ); la desigualdad > o < esta en uno
de los dos semiplanos en que la recta divide al
plano .Para determinar cuál de los dos semiplanos es la
repuesta cogemos un punto cualquiera; el mejor es el
origen ( 0, 0 ) y probamos con él: 2 · 0 + 0 > 5; como no
es cierto, el semiplano que contiene al origen no es la
solución, por lo tanto es el otro que aparece sombreado.
Todos los puntos (x,y) situados en el plano sombreado forman parte de la solución de la
inecuación, cojamos uno cualquiera: el (3,1) y lo sustituimos en la inecuación: 2 · 3 + 1 > 5 y
vemos que es cierto; podemos probar con el punto ( 3’26 , – 0’34 )
Si la inecuación esta construida con el símbolo ≥ o ≤ la solución sería un semiplano y además los
puntos de la recta dibujada.
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 3x − y ≤ 6 2) x + 3y ≥ 1
3) 2x + 5y > 0 4) 3x − 4y < − 5
5) x
x y
3 5
2
− ≥
+
6) 2 1
3
2 5
4 < −
+
− x
x y
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