POLINOMIOS
Un polinomio es
una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an
-1 ... a1 , ao números,
llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de
un polinomio P(x)
es el mayor exponente al
que se encuentra elevada la variable x.
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x
+ 2
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+
3x + 2
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que
tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en
el todos sus términos o monomios son del mismo
grado.
P(x) = 2x2 +
3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en
el que sus términos no son del miso grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que
tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de
mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x
- 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si
los monomios que
lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x
- 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son
iguales si verifican:
1Los
dos polinomios tienen
el mismo grado.
2Los coeficientes de
los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x
− 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son
semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x
− 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x
por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ;
x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5
· 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de
los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 +
2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo
están.
Q(x) = 2x3 −
3x2 +
4x
P(x) + Q(x) = (2x3 +
5x − 3) + (2x3 − 3x2 +
4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 +
2x3 −
3 x2 +
5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3 −
3x2 +
9x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo
del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan
sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 +
7x + 2 Q(x) = 6x3 +
8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 +
6x3 +
4x2 +
15x + 5
Resta de polinomios
La resta de
polinomios consiste
en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 +
5x − 3) − (2x3 − 3x2 +
4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 +
5x − 3 − 2x3 + 3x2 −
4x
P(x) − Q(x) = 2x3 −
2x3 +
3x2 +
5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 +
x − 3
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
DIVISION DE POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
EJEMPLO:
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