DETERMINANTE
Notación
matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros
elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se
calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los
determinantes fueron originalmente investigados por el matemático
japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y
matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta
notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las
ciencias naturales.
El símbolo
es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definición, a11a22 - a12a21. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:
es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definición, a11a22 - a12a21. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:
El adjunto menor, Mij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el determinante formado por los elementos restantes al eliminar la fila i y la columna j en las que aparece el elementoaij. El cofactor, Aij, de un elemento aij es igual a (-1)i+jMij.
EVALUNACION DE UN DETERMINANTE
El
valor de un determinante se puede expresar usando los elementos de una
fila (o columna) y sus respectivos cofactores; la suma de estos
productos es el valor del determinante. Formalmente, esto se expresa
como
si el desarrollo se hace en función de la fila i, o
si se hace en función de la columna j. De esta manera, para calcular el valor de un determinante de tercer orden utilizando los elementos de la primera columna
Estos términos se evalúan a su vez utilizando la definición dada anteriormente para el determinante de segundo orden.
Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantes formados por los adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarse fácilmente.
Este
método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante
laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los
determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre
estas propiedades, tenemos las siguientes:
1)
Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o
columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila
(o columna).
2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.
3)
El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de
una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o
columna) multiplicado por un factor constante.
APLICACIONES
Una aplicación de los determinantes en la geometría analítica se muestra en el siguiente ejemplo: Si P1(x1, y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3) son tres puntos distintos en un plano de coordenadas cartesianas, el área A del triángulo P1P2P3, ignorando el signo algebraico, está dada por
Si los tres puntos son colineales, el valor del determinante es cero.
Los
determinantes se utilizan también para resolver sistemas de ecuaciones
de la siguiente manera. Las n ecuaciones a resolver se representan
algebraicamente como
Se construye un determinante, Ä, utilizando estos coeficientes, y siendo Äk el determinante que se obtiene al eliminar la columna k y sustituirla por la columna de las constantes b1, b2, ... bn. Si Ä " 0 las ecuaciones son consistentes y es posible encontrar una solución. Ésta está dada por
Si Ä = 0, es necesario investigar las razones para averiguar el número y la naturaleza de las soluciones.
Este es un ejemplo numérico. Dados:2x1 + 3x2 + 4x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 y x1 - x2 + x3 = -1, entonces tenemos que x1 = Ä1 / Ä = 2. Si construimos Ä 2 y Ä3 el resultado es x2 = 1.
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