El triángulo de Pascal o Tartaglia
| 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... | El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito. |
Historia
El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo deTartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.
Triángulo de Pascal y números Combinatorios
Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.El número combinatorio Cm n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.El número combinatorio Cm n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
| 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... |  |
Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.
Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:
Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón
La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).
La fórmula es:
Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.
Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.
Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.
(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.
Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.
Más propiedades del triángulo de Pascal:
Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.
- Números poligonales
¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta?
En la diagonal tercera marcada aparecen , pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal. - Números primos
Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7. - La suma de los elementos
La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
20 = 1
21 = 1+1 = 2
22 = 1+2+1 = 4
23 = 1+3+3+1 = 8
24 = 1+4+6+4+1 = 16 - Sucesión de Fibonacci
La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:
1,1,2,3,5,8,13,21,...
(an+1 = an + an-1con a0 = 1, a1= 1) - Potencias de 11
Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
1-2-1............................ 121 = 112
Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 115 - El "stick de hockey"
Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria. - El triángulo de Sierpinski
El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda altriángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de Java de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski. - Cambiando extremos
2
1 2
1 3 2
1 4 5 2
1 5 9 7 2
1 6 14 16 9 2
......¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?
No hay comentarios:
Publicar un comentario